Calcul intégral

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Résumé de cours

Calcul intégral

Calcul Intégral

Unité d'aire

On se place dans le repère orthogonal $(O;~I;~J)$, avec les points $O(0;~0)$, $I(1;~0)$, $J(0;~1)$ et $K(1;~1)$.
L'unité d'aire notée $u.a$ est l'aire du rectangle $OIJK$.

Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;~b]$ et $C_f$ sa courbe représentative.
L'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droite d'équations $x=a$ et $x=b$, exprimée en unité d'aire, est appelée intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ et est notée $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$

Théorème fondamental

Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;~b]$ et $C_f$ sa courbe représentative.
Soit $F$ la fonction définie sur $[a;~b]$ par:$$F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt$$ $F$ est dérivable sur $[a;~b]$ et on a:$$F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt \implies F'(x)=f(x)$$ $F$ est l'unique primitive de $f$ sur $[a;~b]$ qui s'annule en $a$.

Théorème d'existence
Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives sur $I$.
Toute fonction $f$ continue sur $[a;~b]$ admet une intégrale sur cet intervalle.
Calcul intégral
Soit $f$ une fonction continue et de signe quelconque sur un intervalle $I$. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
On définit l'integrale de $f$ sur $[a;~b]$ par: $$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\Big[ F(x) \Big]_a^b=F(b)-F(a)$$
Propriétés de l'intégrale

Bornes identiques

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$.

$\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx = 0$

Permutation des bornes

Soit $f$ une fonction continue sur $[a;~b]$.

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = - \displaystyle \int_b^a f(x)\,dx$

Relation de Chasles

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$, $b$, $c$ trois nombres réels de $I$.

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \displaystyle \int_a^c f(x)\,dx+\displaystyle \int_c^d f(x)\,dx$

Linéarité

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $\alpha$, $\beta$ deux nombres réels.

$\displaystyle \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x)\,dx = \displaystyle \alpha \int_a^b f(x)\,dx+\displaystyle \beta \int_a^b g(x)\,dx$

Positivité

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;~b]$ alors:

$f(x)\geq 0 \implies \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \geq 0$

Ordre

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;~b]$ alors:

$f(x)\leq g(x) \implies \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \leq \displaystyle \int_a^b g(x)\,dx$

Valeur moyenne

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a;~b]$ et $C_f$ sa courbe représentative.
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a;~b]$ a pour expression:$$\dfrac{1}{b-a} \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$$

Intégration par parties
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et de dérivées continues sur un intervalle $[a;~b]$. On a alors: $$\displaystyle \int_a^b u'v=\Big[uv \Big]_{a}^b-\displaystyle \int_a^b uv'$$

Solution écrite

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